Лекция Андрея Новикова: когда нельзя, но очень хочется делить на ноль - «Образование»

Ученый КФУ о том, почему математика может все

Нельзя делить на ноль, нельзя извлекать корень из отрицательных чисел. Эти и многие другие «нельзя» математики установили сами. И они же находят варианты, когда эти ограничения не работают. Кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа Института математики и механики КФУ Андрей Новиков рассказывает, почему для математики практически нет ограничений и что произойдет с военным крейсером, если его программа поделит число на ноль. Интернет-газета «Реальное время» продолжает публикации лекций в рамках проекта «Открытый лекторий».

От нуля до бесконечности один шаг

В мире существует много ограничений, например, нельзя делить на ноль, нельзя вычислять корень из отрицательных чисел, нельзя качаться на стульях, нельзя играть со спичками. Многие эти факты принимаются как есть. Но почему нельзя делить на ноль и что делать, когда нельзя, но очень хочется?

— Все знают, что на ноль делить нельзя, потому что непонятно, что в итоге должно получиться. Правда ли, что нельзя? Говорят, можно, если осторожно. Математика — старая наука, и она придумала множество уловок, как обойти это ограничение, — начал лекцию ученый. — Деление — это количество действий, которые совершаются до тех пор, пока от изначального числа ничего не остается. Вам придется вычитать бесконечное число раз, так что деление на ноль дает бесконечность.

Что же происходит, если делить на ноль неосторожно? На слайде ученый демонстрирует пример, когда неосторожное деление на ноль привело к неожиданным последствиям.

— Здесь изображен ракетный крейсер Yorktown ВВС США. На нем программа поделила число на ноль, из-за чего его силовая установка отключилась. Совсем. Это называется «инцидент на Йорктауне»*.

Крейсер USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США. Фото navysite.de

Когда возникают такие ситуации, надо знать, что делать.

— Давайте посмотрим, как в такой ситуации себя ведет математика (см. 3.17 мин.). Для этого поговорим о том, что такое числа. Числа принято изображать в виде прямой. С прямой можно сопоставить окружность. На рисунке из точки N, которая обозначает Северный полюс, проведен отрезок к точке Р. Если мы будем переводить точку P в точку Р', то это отображение переведет окружность в прямую, — рассказал Андрей Новиков.

Такую операцию можно провести с любой точкой, кроме точки N. Если провести прямую через нее, то получится параллельная прямая, и она будет соответствовать бесконечности. Операция «один делить на число» переворачивает окружность. Поэтому если 1 поделить на ноль, то получится бесконечность, а если 1 поделить на бесконечность, то получится ноль. Это уловка, интерпретация, но именно так это работает, уточнил ученый.

Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?

Всем известно со школы, что и корень из отрицательного числа вычислять нельзя (см. 5.15 мин).

— Правда ли это? На самом деле нет. Оно может быть любым, любым комплексным числом, — рассказывает лектор.

Это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.

— В первую очередь мы вводим специальное число I, которое в квадрате будет давать –1 и интерпретируем комплексные числа, как пару вещественных чисел (это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел, — прим. ред.). Одно из них отвечает за вещественную часть, другое — за мнимую. Есть еще одна интерпретация этих чисел с помощью тригонометрии. Она позволяет вычислить корень из отрицательных и любых комплексных чисел. Извлечение корня приведет к извлечению корня из модуля и уменьшению угла в два раза, — объясняет ученый.

На рисунке (см. 6.20 мин.) изображен перевод сферы, кроме одной точки в плоскость. Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, — точки бесконечности. Делить можно на любые комплексные числа и опять получать бесконечность. Отображение плоскости в сферу называется стереографической проекцией.

В презентации ученый показывает, что будет, если глобус перевести в стереографическую проекцию (см. 7.37 мин.).

Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, точки бесконечности

Сегодня в математике возможно все

Напоследок ученый «прошелся» еще под одной «аксиоме», которая известна всем, имеющим отношение к математике.

— Те, кто сдает математику, в курсе, что извлекать логарифм из отрицательного числа тоже нельзя. Можно. Только в этом случае опять получатся комплексные числа. Здесь представлены две формулы, которые все описывают.

На слайде на 8.35 минуте ученый демонстрирует как выглядит извлечение логарифма из отрицательного числа.

— Все ли это, на чем снимаются ограничения? Нет, не все. Математика так часто развивается: сначала определяются условия для произведения действий, например, брать производные, интегрировать, а потом эти условия оспариваются и ослабляются, — объясняет Андрей Новиков.

Как еще один пример — математическое допущение, что дифференцированная функция непрерывна. Нет, оказывается, можно дифференцировать разрывные функции (см. 9.46 мин.).

— А можно еще складывать расходящиеся ряды. Это не очень просто, но если сложить числа 1, –1, 1, –1, 1, –1 и т. д., то получится ½, а если начать с –1, то получится –½. Математика может все, — говорит лектор.

В математике много смешного. Например, можно просуммировать все натуральные числа и получить –1/12.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ = –1/12

— Суммируем положительные, получаем отрицательные так бывает. Но для этого нужно изучать такую вещь, как Дзета-функция Римана, — говорит лектор.

В математике многие арифметические действия можно производить по-разному. Можно определить, что что-то мы делаем одним способом, понять, что этим способом сделать нельзя и делать другим. На этом базируется наука, математика развивается. Математика может все, кроме того, что она определила как невозможное.

Справка

*21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего прекратила работу двигательная установка корабля. На Yorktown были установлены 27 компьютеров Pentium-Pro на 200 МГц, которые позволяли автоматизировать управление кораблем без участия человека.

На компьютеры крейсера установили новую программу для управления главным двигателем. Один из инженеров, занимавшийся калибровкой топливных клапанов занес в расчетную ячейку программы нулевое значение. 21 сентября программа произвела деление на этот самый ноль. Произошел сбой в софте компьютера, который по цепной реакции перекинулся на другие системы управления. В результате экипажу потребовалось более трех часов, чтобы подключить аварийную систему управления.